Thermodynamik

Zustandsgleichungen

Zustandsgleichung $\Delta U$ Q $W_v$
isobare ZÄ p=const.
V/t = const.
$\Delta U = m * c_v * \Delta T$ $Q = m * c_p * \Delta T$ $W_v = - p * \Delta V$
isochore ZÄ V = const.
p/T = const.
$\Delta U = m * c * \Delta T$ $Q = m * c * \Delta T$ $W_v = 0$
isotherme ZÄ T = const. p/V = const. $\Delta U = 0$ $Q = m \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac{V_e}{V_a}$ $W_V = -m \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac{V_e}{V_a}$
adiabatische ZÄ $T * V^{\kappa - 1} = const.$
$p * V^{\kappa} = const.$
$\Delta U = m * c_v * \Delta T$ $Q = 0$ $W_v = m * c_v * \Delta T = \frac{m * R * \Delta T}{ \kappa - 1}$

Die adiabatische Zustandsänderung

Bedingung: Q = 0
erfüllt für:

  • ideale Wärmeisolation
  • sehr schnelle Prozessführung

Zustandsgleichung herleiten

(1)
\begin{eqnarray} dU &=& dW \\ m * c_v * dT &=& - p * dV \\ \frac{c_v * dT}{T} + \frac{R}{V} dV &=& 0 \\ c_v * \ln T + R * \ln V &=& const. \\ \ln T + (\kappa -1) \lb V &=& const. \\ T * V ^{\kappa - 1} &=& const. \\ \end{eqnarray}

$\kappa := \frac{c_p}{c_v}$ … Adiabatenexponent

$R = c_p - c_v , \kappa = \frac{c_p}{c_v} ; \kappa = 1,67$ für einatom. Gase und 1,4 für zweiatom. Gase

Kreisprozesse

Indikatordiagramm

Indikatordiagramm.jpg

Verdichtungsverhältnis

Verhältnis von größtem zu kleinsten Volumen

  • bei Ottomotor 9-11
  • bei Dieselmotor ~20

Wärmekraftmaschinen

Wärmekraftmaschinen:
Wärmekraftmaschinen (WKM) sind periodisch arbeitende Maschinen), welche thermische Energie in mechanische umwandeln.
Kreisprozesse:
Kreisprozesse sind eine Möglichkeit, Wärmekraftmaschinen zu modellieren und zu beschreiben.

  • Ottomotor
  • Dieselmotor
  • Dampfmaschine
  • Gasturbine
  • Stirlingmotor

Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine:
$\eta = \frac{W_{ab}}{Q_{zu}} = \frac{Q_{zu}-Q_{ab}}{Q_{zu}}$

Der Carnot-Prozess (1824)

Carnot.jpg
  • geht auf Sadi Carnot (1796-1832) zurück

Der Carnot-Prozess ist eine Wärmekraftmaschine mit größtmöglichem Wirkungsgrad.

(1)-(2) isotherme Expansion
(2)-(3) adiabatische Expansion
(3)-(4) isotherme Kompression
(4)-(1) adiabatische Kompression
  • wegen $Q_{3,4}$ gilt $\eta < 1$
(2)
\begin{eqnarray} \eta &=& \frac{Q_{zu}-\left|Q_{ab}\right|}{Q_{zu}} \\ &=& \frac{Q_{1,2}+Q_{3,4}}{Q_{1,2}} \\ &=& \frac{m \cdot R \cdot T_{1} \cdot \ln \frac{V_2}{V_1} + m \cdot R \cdot T_{2} \cdot \ln \frac{V_{4}}{V_{3}}}{m \cdot R \cdot T_{1} \cdot \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}} \\ &=& \frac{ T_{1} \cdot \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} + T_{2} \cdot \ln \frac{V_{4}}{V_{3}}}{\ln \frac{V_{2}}{V_{1}}} \\ Nebenrechnung: \\ (2)-(3) \Longrightarrow T_{1} \cdot V_{2}^{\kappa - 1} &=& T_{2} \cdot V_{3}^{\kappa - 1} \\ (4)-(1) \Longrightarrow T_{1} \cdot V_{1}^{\kappa - 1} &=& T_{2} \cdot V_{4}^{\kappa - 1} \\ \Longrightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{3}}{V_{4}} \\ \end{eqnarray}

$\eta = \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}$

Hausaufgabe:
Fahrt eines PKW auf ebener Landstraße bei 100 $\frac{km}{h}$
Daten für den Luftwiderstand (Höhe/Breite, $c_{w}$-Wert

  1. Abschätzung des Kraftstoffverbrauchs
  2. Motordrehzahl bei 100 $\frac{km}{h}$
  3. Durchrechnen des Kreisprozesses (benötigt: Hubraum, Verdichtungsverhältnis, Zylinderanzahl)

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik

2. Hauptsatz der Thermodynamik
Es gibt kein perpetuum mobile 2. Art.

  • Der zweite Hauptsatz der Wärmelehre ist genau wie der Energieerhaltungssatz ein Erfahrungssatz, der nicht bewiesen werden kann.
  • Es gibt Vorgänge in der Natur, die nach Energieerhaltung möglich wären, aber trotzdem nicht von allein ablaufen.
  • Was versteht man unter reversiblen und irreversiblen Vorgängen? (Beispiele)
                • irreversibel: nicht ohne bleibende Veränderung umkehrbar, z.B. Vermischung von Gasen
                • reversibel: ohne jede bleibende Veränderung umkehrbar, kommen in der Natur nicht vor, nur annähernd realisierbarz.B. elastische Verformung (?)
  • Warum macht es sich erforderlich, einen weiteren Hauptsatz zu formulieren?
                • Da bei Ungültigkeit dieses Hauptsatzes, eine Maschine konstruierbar wäre, die einen irreversiblen Vorgang ohne bleibende Änderungen umkehrt.
                • Erster Hauptsatz würde zulassen, dass ein kälterer Stoff Wärme an einen wärmeren abgibt.
  • Wie lautet die Formulierung des zweiten Hauptsatzes?
                • nach Max Planck: "Es ist unmöglich, eine periodisch funktionierende Maschine zu konstruieren, die keine weitere Veränderung in der Umwelt bewirkt, als die Hebung eines Gewichtsstückes und eine entsprechende Abkühlung eines Wärmereservoirs."
                • nach Clausius (siehe Wikipedia): "Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist."
                • nach Tafelbild: "Es gibt kein perpetuum mobile 2. Art"
  • Was versteht man unter einem perpetuum mobile zweiter Art?
                • periodisch arbeitende Maschine, welche Wärme vollständig in mechanische Arbeit umwandelt
  • Warum ist eine isotherme Zustandsänderung (und auch jede andere Zustandsänderung kein perpetuum mobile 2. Art?
                • Weil sie nicht ohne Zugabe weiterer Energie periodisch abläuft.
  • Wie könnte mit einem perpetuum mobile 2. Art folgende Abläufe rückgängig gemacht werden?
      • a) ein Wagen rollt gebremst einen Berg hinab und kommt unten zum Stillstand
                  • potentielle -> kinetische -> potentielle (Schwungrad zB) und zurück: -> kinetische -> potentielle (berg hoch)
    • b) Temperaturausgleich beim Mischen von heißem und kaltem Wasser
                • Teilchen müssen Wärme an andere abgeben, obwohl keine Temperaturdifferenz vorliegt bzw kältere Teilchen müssen Wärme an wärmere abgeben
                • Wassermenge wird wieder geteilt und in zwei Behälter geschüttet, unser PM2 entzieht (im Gegensatz zur Wärmepumpe von ganz alleine!) der einen Wassermenge die Wärme, wandelt diese in Arbeit um und treibt mit dieser Arbeit eine Wärmepumpe an. Somit wird die Temperaturänderung wieder rückgängig gemacht.

Die Entropie

Entropieänderung

  • für T = const.:
(3)
\begin{align} \Delta S &=& \frac{Q_{rev}}{T} \end{align}
  • für veränderliches T
(4)
\begin{align} \Delta S &=& \int_{(1)}^{(2)} \frac{dQ_{rev}}{T} \end{align}
  • Bei einem irreversiblen Prozess ist die Entropieänderung stets größer als die Summe der umgesetzten reduzierten Wärmen.
  • Im abgeschlossenen System nimmt die Gesamtentropie stets zu.

2. Hauptsatz der Thermodynamik
Im abgeschlossenen System verlaufen natürliche Vorgänge unter Entropiezunahme

Die kinetisch-statistische Betrachtungsweise

Ziel: Verbindung von Mechanik und Wärmelehre herstellen

Betrachtung nur zum idealen Gas <-damit

  • Bewegung der Gasteilchen beschreiben $\rightarrow$ Kinetik
  • wegen großer Anzahl der Teilchen nur Mittelwerte anzugeben $\rightarrow$ Statistik

grundlegende Modelleigenschaften des idealen Gases

  • Gasteilchen sind Massepunkte
  • nur elastische Stöße zwischen den Teilchen bzw. Teilchen und Gefäßwand

Statistik

  • Die Gleichverteilung der Gasteilchen im Volumen ist am wahrscheinlichsten.
  • Jedes Teilchen kann sich an jeder Stelle des Raumes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit aufhalten.

Geschwindigkeitsverteilung
Es ist am wahrscheinlichsten, dass die Teilchen unterschiedliche Geschwindigkeiten haben.

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

stat.jpg
$\frac{dN}{N}$ relative Häufigkeit der Teilchen, die eine Geschwindigkeit aus dem Intervall (v; v+dv) haben
$\dfrac{ \dfrac{dN}{N}}{dv}$ bezogen auf Intervallbreite

Verteilung w(v) muss der Normierunsbedingung gehorchen
$\Int? {0}{unendlich?} w(v) \cdot dv = 1$
nach Maxwell/Boltzmann: $w(v) = \sqrt{\dfrac{8 \mu }{ \pi \cdot k \cdot T }} \cdot \dfrac{ \mu \cdot r² }{2kT} \cdot e ^{-\dfrac{\mu v²}{2kT}}$
wahrscheinlichste Geschwindigkeit $v_W = \sqrt{2kT}{\mu}$

$\mu$ … Teilchenmasse
$k = 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J}{k}$ … Boltzmannkonstante

Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie (Zustandsgleichung des idealen Gases)

wurfel.jpg
i … Nummer des Teilchens mit 1<=i<=N
$\mu$ … Masse eines Teilchens
$v_i$ … Geschwindigkeit des Teilchens(5)
\begin{eqnarray} (1) p_i &=& \dfrac{F_i}{A} ... Teildruck, den ein Teilchen erzeugt \\ (2) F_i &=& \dfrac{2 \cdot \mu \cdot V_{Xi}}{\Delta t} \end{eqnarray}

$\Delta t$ … Zeitintervall, in dem das Teilchen genau einen Stoß mit der Gefäßwand erfährt

(6)
\begin{eqnarray} (3) p_i &=& \dfrac{\mu \cdot v_{Xi}^2}{A \cdot l} \Rightarrow p_i \cdot V = \mu \cdot v²_{Xi} \\ (1),(3) in (1) p_i &=& \dfrac{ \mu \cdot v_{Xi}^{2}}{A \cdot l} \Rightarrow p_i \cdot V = \mu \cdot V_{Xi}{^{2}} \\ \end{eqnarray}

$\Longrightarrow$ Gesamtdruck

(7)
\begin{eqnarray} p \cdot V &=& \sum \limits_{i=1}^{N}p_i \cdot V = \sum \limits_{i=1}^{N} \mu \cdot V_{Xi} = \sum \limits_{i=1}^{N} V_{Xi}^{2} = m \cdot \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{N} V_{Xi}^{2}}{N} = m \cdot V_{X}^{2} \end{eqnarray}

Alle 3 Raumrichtungen sind gleichberechtigt.

(8)
\begin{eqnarray} \bar{v_{x}^2} = \bar{v_{y}^2} = \bar{v_{z}^2} \Rightarrow \bar{v^2} = \bar{v_{x}^2} + \bar{v_{y}^2} + \bar{v_{z}^2} = 3 \cdot \bar{v_{x}^2} \end{eqnarray}

$\Rightarrow$ Faktor 3 für die 3 Energiefreiheitsgrade\

(9)
\begin{eqnarray} R \cdot T &=& \frac{1}{3} \bar{v^2} \\ \sqrt{ \bar{ v^2 }} = \sqrt{ 3 \cdot R \cdot T } \end{eqnarray}

$\Longleftarrow$ Zusammenhang Temperatur/Teilchengeschwindigkeit

Damit (4) $p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot m \cdot \bar{v^2}$ Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

$\sqrt{ \bar{ v^2 }}$ … mittlere quadratische Geschwindigkeit
$\sqrt{ \bar{ v^2 }} \neq V_{wat?}$

Folgerungen:

(10)
\begin{eqnarray} E_{kin} &=& \frac{m}{2} \bar{v^2} \\ &=& U \\ aus (4) U = \frac{3}{2} \cdot p \cdot V &=& \frac{3}{2} \cdot m \cdot R \cdot T \end{eqnarray}

Adiabatenexponent $dU = m \cdot c_V \cdot dT \Rightarrow m \cdot c_V = \dfrac{dU}{dT} = \frac{3}{2} R ; c_p = R + c_V = \frac{5}{2} R$
$\kappa = \dfrac {c_p}{c_V} = \frac{5}{3} = 1,67$

Die bisherigen Überlegungen gelten für einatomige (ideale) Gase.

Zweiatomige Gase: zwei starr verbundene Punktmassen $\Longrightarrow$ 5 Energiefreiheitsgrade
$\Longrightarrow U = \frac{5}{2} p \cdot V = \frac{5}{2}m \cdot R \cdot T$
$c_V = \frac{5}{2}R ; c_p = \frac{7}{2} R \Longrightarrow \kappa = \frac{7}{5} = 1,4$

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